Aritmatika Integer

   Aritmatika Integer

A. Konversi Bilangan

• Bilangan biner (Bilangan berbasis dua, bilangannya: 0,1)
• Bilangan octal (Bilangan berbasis delapan bilangannya: 0,1,2,3,4,5,6,7) 
• Bilangan desimal (Bilangan berbasis sepuluh, bilangannya: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
• Bilangan hexadesimal (Bilangan berbasis enam belas, bilangannya:      (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)

Konversi bilangan adalah proses mengubah bentuk bilangan satu ke bentuk bilangan lain yang memiliki nilai yang sama. Misal: nilai bilangan desimal 12 memiliki nilai yang sama dengan bilangan octal 15; Nilai bilangan biner 10100 memiliki nilai yang sama dengan 24 dalam octal dan seterusnya.

Konversi bilangan biner, octal atau hexadesimal menjadi bilangan desimal.

Konversi dari bilangan biner, octal atau hexa menjadi bilangan desimal memiliki konsep yang sama.Konsepnya adalah bilangan tersebut dikalikan basis bilangannya yang dipangkatkan 0,1,2 dst dimulai dari kanan. Untuk lebih jelasnya silakan lihat contoh konversi bilangan di bawah ini;

1. Bilangan Biner

Bilangan ini, terdiri atas dua basis, yakni 0 dan 1, agar mempermudah dalam menghitung. Bilangan tersebut akan diterjemahkan kedalam basis 10 dahulu.

Dalam menghitung basis biner ke desimal, menggunakan penjumlahan 2 pangkat sekian. Berikut ini contoh bilangan biner 1010(2) ke desimal.

    1             0              1             0

2³ x 1     2² x 0      2¹ x 1     2⁰ x 0

=8 + 0 + 2 + 0 = 10

sehingga dapat diartikan 1010(2) = 10(10)

2. Bilangan Oktal

Bilang yang kedua, yaitu oktal, dimana bilangan ini terdiri dari 8 basis, yakni 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Cara menghitungnya pun sama dengan biner.

Namun perbedaannya adalah menggunakan penjumlahan 8 pangkat. Berikut contoh 1221(8) ke desimal.

    1             2              2            1

8³ x 1     8² x 2      8¹ x 2     8⁰ x 1

= 512 + 128 + 16 + 1 = 657

sehingga dapat diartikan 1221(8) = 657(10)

3. Bilangan Hexadesimal

Bilangan ini terdiri atas 16 basis, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F. Dimana huruf – huruf yang tertera diartikan sebagai lanjutan dari angka – angka sebelumnya.

 Dalam menghitung basis hexadesimal ke desimal, menggunakan penjumlahan 16 pangkat. Berikut ini contoh bilangan hexadesimal 19(16) ke desimal.

    1             9

 16¹ x 1     16⁰ x 9 

= 16 + 9 = 25

sehingga dapat diartikan 19(16) = 25(10)

4.Bilangan Desimal

Dalam bilangan desimal, terdiri dari 10 basis angka, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0.

Selain itu, bilangan desimal juga dapat dikonversikan kedalam basis bilangan lainnya.

Namun, desimal merupakan kebalikan dari penjumlahan basis lain, yaitu dengan cara pembagian.

 

B. Operasi Aritmatika Interger( +, - , x, : ) 

1. Penjumlahan   

Pada penjumlahan bilangan biner sebenarnya sama saja dengan proses penjumlahan pada bilangan decimal atau yang biasa kita lakukan. Hanya saja angka dalam bilangan biner hanya terdiri dari angka 0 dan 1, dan memiliki aturan dasar, yaitu:

0 + 0 =0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0, karena digit terbesar biner adalah 1, maka hasilnya dikurangi 2. (1+1= 2, 2-2=0, carry / simpanannya 1 yang akan digabungkan dengan perhitungan berikutnya) 

Contohnya:

Pada perhitungan penjumlahan bilangan decimal:

15 + 35 = 50

Dan pada penjumlahan bilangan binernya adalah:

1111 + 100011 = ....

Penyelesaian

Lakukan perhitungan berdasarkan aturan dasar penjumlahan bilangan biner, maka hasilnya:

      1111

  100011 +

110010

Penjelasan

Perhitungan diawali dari sebelah kanan, maka prosesnya adalah:

1 + 1 = 0, simpan 1, gabungkan dengan perhitungan berikutnya.

1 + 1 +  1 = 1, simpan 1, gabungkan dengan perhitungan berikutnya.

1 + 1 + 0 = 0, simpan 1, gabungkan dengan perhitungan berikutnya.

1 + 1 + 0 = 0, simpan 1, gabungkan dengan perhitungan berikutnya.

1 + 0 =1, tidak ada simpanan

0 + 1 = 1,tidak ada simpanan

Maka hasilnya (diawali dari bawah) = 110010

 

2. Pengurangan

Pada pengurangan bilangan biner sebenarnya sama saja dengan proses pengurangan pada bilangan decimal atau yang biasa kita lakukan. Hanya saja angka dalam bilangan biner hanya terdiri dari angka 0 dan 1, dan memiliki aturan dasar, yaitu:

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1.

1 – 1 = 0

0 - 1 = 1 --> dengan pinjaman 1, (pinjam 1 dan posisi sebelah kirinya).

Contoh:

Pada perhitungan pengurangan bilangan decimal:

50 – 35 = 15

Dan pada pengurangan bilangan binernya adalah:

110010 – 100011 = ....

Penyelesaian

Lakukan perhitungan berdasarkan aturan dasar pengurangan bilangan biner, maka hasilnya:

110010

100011 -

    1111

Penjelasan:

Perhitungan diawali dari sebelah kanan, maka prosesnya adalah:

0 – 1 = 1, (pinjam 1 dari posisi kirinya, dalam bilangan biner 1 kali pinjam bernilai 2 digit)

0 – 1 = 1, (karena sudah dipinjam jadi sisa 0, kemudian pinjam 1 dari posisi kirinya yang berdigit 1)

1 – 0 = 1, (karena pinjam 1 dari sebelah kirinya)

1 – 0 = 1, (karena pinjam 1 dari sebelah kirinya)

0 – 0 = 0, (karena sudah dipinjam jadi sisa 0)

1 – 1 = 0

Hasilnya 001111 (angka nol di sebelah kiri abaikan) jadi hasilnya = 1111

 

3. Perkalian

Pada perkalian bilangan biner sebenarnya sama saja dengan proses perkalian pada bilangan decimal atau yang biasa kita lakukan. Hanya saja angka dalam bilangan biner hanya terdiri dari angka 0 dan 1, dan memiliki aturan dasar, yaitu:

0 x 0 = 0

1 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 1 = 1

Contoh:

Pada perhitungan perkalian bilangan decimal:

15 x 9 = 135

Dan pada perkalian bilangan binernya adalah:

1111 x 1001 = ....

Penyelesaian

Lakukan perhitungan berdasarkan aturan dasar pengurangan bilangan biner, maka hasilnya:

Penjelasan:

Proses perhitungan dilakukan seperti mengalikan biasa, yaitu masing-masing angka di bawah yang diawali dari sebelah kanan dikalikan dengan seluruh angka yang ada di atasnya, prosesnya yaitu:

Angka pertama bawah dari sebelah kanan yaitu angka 1 dikalikan dengan seluruh angka di atas yaitu 1111 hasilnya adalah 1111

Angka kedua bawah dari sebelah kanan yaitu angka 0 dikalikan dengan seluruh angka di atas yaitu 1111 hasilnya adalah 0000

Angka ketiga bawah dari sebelah kanan yaitu angka 0 dikalikan dengan seluruh angka di atas yaitu 1111 hasilnya adalah 0000

Angka keempat bawah dari sebelah kanan yaitu angka 1 dikalikan dengan seluruh angka di atas yaitu 1111 hasilnya adalah 1111

Meletakkan hasil perhitungan bisa di lihat pada gambar di atas (seperti perkalian bersusun pada umumnya).

Selanjutnya adalah proses menjumlahkan seperti aturan menjumlahkan bilangan biner yang sudah di jelaskan di atas. Maka hasilnya adalah 10000111.

 

4. Pembagian

Pada pembagian bilangan biner sebenarnya sama saja dengan proses pembagian pada bilangan decimal atau yang biasa kita lakukan. Hanya saja angka dalam bilangan biner hanya terdiri dari angka 0 dan 1, dan memiliki aturan dasar, yaitu:

0 : 1 = 0

1 : 1 = 1 

Contoh :

Pada perhitungan pembagian bilangan decimal:

50 : 5 = 10

Dan pada pembagian bilangan binernya adalah:

110010 : 101 = ....

Penyelesaian

Lakukan perhitungan berdasarkan aturan dasar pengurangan bilangan biner, maka hasilnya:

Penjelasan:

Proses perhitungan dimulai dari 3 digit pertama dari sebelah kiri yang ada dalam kurung

Kemudian dibagi dengan digit 101, disimpan hasil kalinya 1

Lakukan proses pengurangan, karena digit hasil pengurangan tidak bisa di bagi dengan 101, maka digit 101 dikali digit 0, dan simpan hasil kalinya.

Lakukan proses pengurangan, karena digit hasil pengurangan tidak bisa di bagi dengan 101, maka turunkan digit 1 yang ada dalam kurung

Kemudian bagi dengan digit 101, disimpan hasil kalinya 1

Lakukan proses pengurangan, karena hasil pengurangannya 0, dan masih tersisa digit 0 dalam kurung pembagi, maka tinggal disimpan di bagian digit hasil kali bagian kanan.